[알고리즘 대비 - 이코테] 7. 다이나믹 프로그래밍

다이나믹 프로그래밍(DP)

• 동적 계획법
• 💡 프로그래밍 분야의 '동적 메모리 할당'과 같은 '동적'의 의미가 아님을 유의
• 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법
• 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장
• └ 불필요한 계산을 줄임

 

사용 조건

1. 최적 부분 구조(Optimal Substructure)
   1. 큰 문제를 작은 문제로 나눠 작은 문제의 답을 모아 큰 문제를 해결
2. 중복되는 부분 문제(Overlapping Subproblem)
   1. 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결

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Example. 피보나치 수열

$
a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, a_1 = 1, a_2 = 1
$

• 피보나치 수열의 점화식
• 피보나치 수열처럼 수열 형태로 나타나는 경우가 많으므로 배열이나 리스트를 이용해 문제를 해결한다. (: 테이블이라고도 함)

 

단순 재귀 해결법

• 지수 시간 복잡도를 가진다. → 이전의 연산을 다시 반복해서 수행하기 때문 (호출 반복)
  • 따라서 이전 연산의 결과를 별도의 메모리 공간에 저장해두면 불필요한 연산 줄일 수 있음

 

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메모이제이션(Memoization)

• 한번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법
  • 같은 문제를 재호출 시, 메모했던 결과를 그대로 가져옴
  • 캐싱(Caching)이라고도 함

💡 메모이제이션은 계산 결과를 별도의 메모리에 일시적으로 저장해놓는 방법으로, `DP ≠ Memoization` 이다.

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방법 1. Top-Down(하향식) 재귀

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoizaion)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)

def fibo(x):
    # 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

print(fibo(99))

 

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방법 2. Bottom-Up(상향식) 반복

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

# 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
    d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]

print(d[n])

 

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Q1. 1로 만들기

문제 설명

정수 X가 주어질 때 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.

1. X가 5로 나누어떨어지면, 5로 나눈다.
2. X가 3으로 나누어떨어지면, 3으로 나눈다.
3. X가 2로 나누어떨어지면, 2로 나눈다.
4. X에서 1을 뺀다.

정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 1을 만들려고 한다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하시오.

예를 들어 정수가 26이면 다음과 같이 계싼해서 3번의 연산이 최솟값이다.

1. 26 - 1 = 25 (b.)
2. 25 / 5 = 5 (a.)
3. 5 / 5 = 1 (a.)

입력 조건

• 첫째 줄에 정수 X가 주어진다. (1 ≤ X ≤ 30,000)

출력 조건

• 첫째 줄에 연산을 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

풀이

from sys import stdin
x = int(stdin.readline())

d = [0] * (x + 1)

for i in range(2, x + 1):
    v = i + 1
    if i % 5 == 0:
        v = min(v, d[i // 5])
    if i % 3 == 0:
        v = min(v, d[i // 3])
    if i % 2 == 0:
        v = min(v, d[i // 2])

    v = min(v, d[i - 1])

    d[i] = v + 1

print(d[x])

• //5 , //3 , //2, -1 연산을 수행한 뒤, 이후 더 적은 수의 연산을 할 수 있는 값을 v 에 할당한다.
• ‘+1’ 을 한 값을 새로 dp에 저장한다.
• -여기서 ‘+1’ 은 이번 반복문에서 수행한 //5 , //3 , //2, -1 연산 중 하나를 수행한 것에 대한 횟수 이다.

 

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Q2. 개미 전사

문제 설명

개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있다. 각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼앗을 예정이다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있다. 따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 한다. 예를 들어 식량창고 4개가 다음과 같이 존재한다고 가정하자.

{1, 3, 1, 5}

이때 개미 전사는 두 번째 식량창고와 네 번째 식량창고를 선택했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있다. 개미 전사는 식량창고가 이렇게 일직선상일 때 최대한 많은 식량을 얻기를 원한다. 개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력 조건

• 첫째 줄에 식량창고의 개수 N이 주어진다. (3 ≤ N ≤ 100)
• 둘째 줄에 공백으로 구분되어 각 식량창고에 저장된 식량의 개수 K가 주어진다. (0 ≤ K ≤ 1,000)

출력 조건

• 첫째 줄에 개미 전사가 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 출력하시오.

풀이

from sys import stdin

n = int(stdin.readline())
arr = list(map(int, stdin.readline().split()))
d = [0] * n
d[0], d[1] = arr[0], arr[1]
for i in range(2, n):
    d[i] = max(d[i - 1], (d[i - 2] + arr[i]))

print(d[-1])

• 점화식을 세울 때, 현재 식량 창고를 털지 안털지를 정하면 된다.
• 최소 1칸 이상 띄우면서 식량 창고를 털어야하기 때문에,
• 현재 식량 창고를 털었을 때 d[i - 2] + arr[i] 와 안털었을 때 d[i - 1] 의 값을 비교하여 더 큰 값을 d[i] 에 새로 저장한다.

 

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해당 포스팅의 내용은
저)나동빈님의 『이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬』을
통해 공부한 내용을 토대로 작성하였습니다.

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬
저자 | 나동빈
출판 | 한빛미디어
발매 | 2020.08.05.